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【名师点津】独家猛料!高考数学三角函数例题解析 发愁数学学不好,还不快拿去!

山东高考指南2019-01-10 17:06:17

名师档案:

程凤霞,济南七中数学教研组组长,从教20余年,曾获人教B版全国优质课比赛一等奖、山东省中小学教学成果一等奖。去年底,她主持召开了济南市高中数学区域教研活动,来自全市多所高中的近50名数学教师参与研讨。

这里是山东商报徐玉芹教育工作室。


昨天,雯小编答应今天要在微信里继续给大家扔重磅猛料,向来说话算数的雯小编怎能食言,这不,一大早就找来了独家信息。说过了语文、英语学科,今天咱来聊聊数学。


说到数学,相信很多人都十分抓狂,上课听的也很认真,练习题也没少做,可一看到考题,立马又变成了“最熟悉的陌生人”。(雯小编就是这样了,当年就是在数学上开不了脑洞,各种不来电啊,哎,不说了,说多了全是泪……)


其实,现在想来,不是不努力,而是没有找对学习方法和解题方式,逮着一个题死磕,竟瞎耽误功夫了。前不久,雯小编采访了济南七中数学教研组组长程凤霞老师,作为从教近20年的资深教师,无论是教学方法还是管理模式,让雯小编觉得真心不错。所以,这几天雯小编特意向程凤霞老师约稿,请她来为大家梳理一下高考数学学科的一些考点和例题。撒花!鼓掌!


第一讲:三角变换、解三角形


【高考命题导航】——把握规律,感知趋势


考纲要求

高频考点

高考命题设计特点和趋势

1. 理解同角三角函数的基本关系式.

2. 能运用和差倍角公式进行简单的恒等变换.

3.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

4.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

1.三角函数的概念及诱导公式.

2. 同角三角函数基本关系式.

3. 两角和与差的三角函数, 倍角公式.

4. 解三角形问题

5. 三角恒等变换与向量相结合问题.

1.对三角变换公式注重基础考查,并在综合试题中作为一种工具考查,主要考查利用各种三角公式进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想.

2.正弦定理和余弦定理及解三角形问题是高考考查的重点,单独命题的频率较高,主要涉及以下几个问题:边和角的计算;三角形形状的判断;面积的计算;有关范围的问题.

【高频考点例析】

热点1 三角变换与求值

[1] (1)(2012·太原模拟)已知tan4π21,且-2π<α<0,则4π()

A.-55B.-105

C.-1010 D.55

(2)已知:cos(2αβ)=-1411sin(α2β)730<β<4π<α<2π,则αβ的值为________

[思路分析](1)由条件可求得tan α的值,因此可采用弦化切的方法将所求代数式化简;

(2)要求αβ的值,可先求αβ的正弦值或余弦值.

:

(1)tan4π1-tan αtan α+121,得

tan α=-31.又-2π<α<0,所以sin α=-1010.

4π22sin α=-55.

(2)cos(2αβ)=-14114π<2αβ

sin(2αβ)143.

sin(α2β)73且-4π<α2β<2π

cos(α2β)71.

cos(αβ)cos[(2αβ)(α2β)]

cos(2αβ)cos(α2β)sin(2αβ)sin(α2β)

=-1411×71143×7321.

4π<αβ<4αβ3π.

[答案](1)A(2)3π

[命题分析]

本题考查三角函数和角公式、同角关系、三角函数求值,考查三角函数“弦切互化、三角数恒等式变形能力、转化划归 能力。.

[方法规律]

(1)三角函数式的化简求值可以采用切化弦弦化切来减少函数的种类,做到三角函数名称的统一,通过三角恒等变换,化繁为简,便于化简求值,其基本思路为:找差异,化同名(同角),化简求值.

(2)求解三角函数中的给值求值问题时,要注意两点:一是分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角;二是正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.

(3)求解三角函数中的给值求角问题时,还是要通过已知求这个角的某种三角函数值,根据三角函数值并结合角的取值范围,即可求出角的大小.

[变式预测]

1.已知cos2β=-91sin-βα32,且2π<α0<β<2π,则cos 2α+β________.

解析:因为2π<α4π<2α<2π0<β<2π

2π<β<0,-4π<2β<0.

所以4π<α<2β,-4π<2α<β<2π

cos2β=-91<0sin-βα32>0

所以2π<α<2β0<2αβ<2π.

sin2β2β95

cos-βα-βα35

cos 2α+βcos-βα

cos2βcos-βαsin2βsin-βα

91×3595×32277

答案:275

2.已知αβ均为锐角,且cos(αβ)sin(αβ),则α________.

解析:依题意有cos αcos βsin αsin βsin αcosβcos αsin β,即cos α(cos βsin β)sin α(sin βcos β)

αβ均为锐角,sin βcos β0cos αsin αα4π.

答案:4π

[2](2012·江南十校联考)已知函数f(x)sin xcos x.

(1)f(x)2f(x),求1+sin2 xcos2x-sin xcos x的值;

(2)求函数F(x)f(xf(x)f2(x)的最大值和单调递增区间.

[思路分析](1)由条件可求tan x的值,然后利用弦化切得所求代数式即可;

(2)利用倍角公式及辅助角公式将F(x)整理为F(x)Asin(ωxφ)b的形式求解.

解析:(1)f(x)sin xcos x

f(x)cos xsin x.

f(x)2f(x)

sin xcos x2(cos xsin x),且cos x0

tan x31

1+sin2 xcos2 x-sin xcos x2sin2x+cos2xcos2x-sin xcos x2tan2x+11-tan x116.

(2)由题知F(x)cos2xsin2x12sin xcos x

F(x)cos 2xsin 2x1

F(x)sin4π1.

sin4π1时,F(x)max=+1.

由-2π2kπ2x4π2π2kπ(kZ)

8πkπx8kπ(kZ)

故所求函数F(x)的单调递增区间为

+kππ(kZ

[命题分析]

本题考查三角函数的同角公式、和角倍角公式的应用,考查利用辅助角公式“合一变形”的能力与利用三角函数的性质研究问题的能力。

[方法规律]

(1)已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为:

先化简所求式子或所给条件;

观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)

将已知条件代入所求式子,化简求值.

(2)有关三角恒等变换的一般解题思路为五遇六想,即:遇正切,想化弦;遇多元,想消元;遇差异,想联系;遇高次,想降次;遇特角,想求值;想消元,引辅角.

[变式预测]

)

1.已知函数f(x)2cos2 2x-sin x.

(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;

(2)α为第二象限角,且f3π31,求1+cos 2α-sin 2αcos 2α的值.

解:(1)f(x)2cos2 2x-sin x

1cos x-sin x12cos3π

最小正周期Tf(x)的值域为[1,3]

(2)f3π31

12cos α31,即cos α=-31.

α为第二象限角,sin α32.

1+cos 2α-sin 2αcos 2α2cos2α-2sin αcos αcos2 α-sin2α

2cos αcos α+sin α3222.

2.已知复数z1sin 2xλiz2m(m-cos 2x)i(λmxR),且z1z2.

(1)λ00<x,求x的值;

(2)λf(x),已知当xα时,λ21,试求cos3的值.

解:(1)z1z2cos 2x.sin 2x=m,

λsin 2x-cos 2x

λ0,则sin 2x-cos 2x0,得tan 2x=.

0<x0<2x<2π.

2x3π2x3.

x6π3.

(2)λf(x)sin 2x-cos 2x

23

23π

2sin3π

xα时,λ21

2sin3π21sin3π41

cos312sin23π

12×16187.


热点2 利用正、余弦定理解三角形

[3](1)(2012·武汉模拟)已知ABC的内角ABC所对的边分别为abc

a80b100A30°,则此三角形()

A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形 D.可能是直角三角形,也可能是锐角三角形

(2)ABC的内角ABC所对的边分别为abc若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b20acos A,则sin Asin Bsin C()

A432B567

C543 D654

(3)(2012·长沙模拟)ABC中,内角ABC的对边分别是abc.cos B41sin Asin C2,且SABC415,则b()

A.4 B3 C2 D1

[思路分析](1)由于角A及其对边a为已知,故可考虑利用正弦定理解决;

(2)ABC中,sin Asin Bsin Cabc

(3)利用余弦定理及三角形面积公式求解.

解析:(1)依题意得sin Aasin Bbsin Babsin A80100sin 30°85<23,因此0°<B<60°120°<B<150°.0°<B<60°,则C180°(B30°)>90°,此时ABC是钝角三角形;若120°<B<150°,此时ABC仍是钝角三角形.因此,此三角形一定是钝角三角形.

(2)A>B>Ca>b>c.ab1cb1,由3b20acos A3b20(b1)×2b(b-1)b2+(b-1)2-(b+1)2.化简,得7b227b400.解得b5b=-78(舍去)

a6c4.

sin Asin Bsin C654.

(3)依题意得,c2ab2a2c22accos Ba2(2a)22×a×2a×414a2,所以bc2asin B==415,又SABC21acsin B21×2b×b×415415,所以b2.

[答案](1)C(2)D(3)C

[命题分析]

本题考查三角形中边角关系转化的理解,考查利用正弦定定理余弦定理及三角形面积公式解决问题的方法、以及转化划归能力、运算年能力。

[方法规律]

解三角形的一般方法

(1)已知两角和一边,如已知ABc,由ABCπC,由正弦定理求ab.

(2)已知两边和这两边的夹角,如已知abC,应先用余弦定理求c,再用正弦定理求较短边所对的角,然后利用ABCπ求另一角.

(3)已知两边和其中一边的对角,如已知abA,应先用正弦定理求B,由ABCπC,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.

(4)已知三边abc,可应用余弦定理求ABC.

[变式预测]

1.在ABC中,角ABC的对边分别为abc,已知4sin2 2A+Bcos 2C27,且ab5c=,则ABC的面积为________

解析:因为4sin2 2A+Bcos 2C27,所以2[1cos(AB)]2cos2C12722cos C2cos2C127cos2Ccos C410,解得cos C21.根据余弦定理有cos C212aba2+b2-7,则aba2b27,故3aba2b22ab7(ab)2725718,所以ab6,所以ABC的面积SABC21absin C21×6×2323.

答案:23

2.在ABC中,A60°,点M为边AC的中点,BM2,则ABAC的最大值为________

解析:依题意得,设ABMθ,其中0°<θ<120°.

ABM中,sin(120°-θ)ABsin θACsin 60°BM

ABsin 60°BMsin(120°-θ)ACsin 60°2BMsin θACABsin 60°3sin θsin 60°3sin(120°-θ)8sin θ4sin(120°θ)10sin θ2cos θ43,记75cos α73sin α,其中α(02π),则有ABAC4sin(θα),当sin(θα)1时,ABAC的值最大,因此ABAC的最大值是4.

答案:4

[4](2012·济南模拟)ABC中,角ABC所对的边分别为abc.已知A3πcos B36,且c2a2(1)b.

(1)sin C的值;

(2)求边b的长.

思路分析(1)由三角形内角和定理ABCπ,可求sin Csin(AB)

(2)利用余弦定理求b.

解析(1)ABCABC的内角,

A3πcos B36

Cπ(AB)sin B33

sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B63.

(2)由余弦定理得:

c2a2(1)bb2c22bccos A(1)b

bc+-10.

又由正弦定理得csin Bbsin C26+1b,则b2.

所以边b的长为2.

[命题分析]

本题考查三角形内角和定理、两角和的正弦公式、同角关系、正弦定定理余弦定理的综合应用, 考查分析问题解决问题的能力、转化划归能力、运算能力。

[方法规律]

 解三角形问题主要指求三角形中的一些基本量,即求三角形的三边、三角等.它的实质是将几何问题转化为代数问题,解题关键是正确分析边角关系,依据题设条件合理地设计解题程序.

[变式预测]

1.已知函数f(x)tan 2x-tan xtan xtan 2x+(sin2xcos2x)

(1)求函数f(x)的定义域和最大值;

(2)已知ABC的内角ABC所对的边分别为abc,若b2a,求f(A)的取值范围.

解:(1)f(x)的解析式可知2x≠kπ+x(k∈Z),(k∈Z),

x≠kπ(k∈Z).(k∈Z),

故函数f(x)的定义域为

D{x|xkπ2πx24πxkπkZ}

f(x)cos xsin x-cos 2x

sin 2xcos x-cos 2xsin xsin xsin 2x-·cos 2x

sin(2x-x)sin xsin 2x-cos 2x

sin 2x-cos 2x2sin3π.

令2x03π2kπ+2π,得x0kπ+125π(kZ)

因为x0D,所以xx0时,f(x)取得最大值f(x0)2.

(2)由余弦定理得,cos A2bcb2+c2-a24ac4a2+c2-a2413aac41×2 ac23

当且仅当c3aac时取等号,即ca时等号成立.

因为AABC的内角,所以0<A6π

则-3π<2A3π0,所以-<2sin3π0

f(A)的取值范围为(0]


热点3 解三角形与实际应用问题

[5]如图所示,为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度,在海岸上选取距离为1 km的两个观察点CD,在某天1000观察到该航船在A处,此时测得ADC30°3 min后该船行驶至B处,此时测得ACB60°BCD45°ADB60°,则船速为__________km/min.

[思路分析](1)常规思路,有两条途径:一是在ABD中利用余弦定理求AB,这需要先用正弦定理求ADBD;二是可以先求ACBC,在ABC中求AB,由于此时BDC90°,计算量比途径一要小很多.由此可见,使用常规思路也要多分析一下;

(2)可以通过角的关系,巧妙地利用直角和四点共圆,使计算过程大大简化.

解析:法一:(常规思路)

ACD中,有sin(60°+45°)AD

sin[180°-(60°+45°)-30°]CD

AD23+1.

BCD中,有sin 45°BDsin[180°-(60°+30°)-45°]CD

BD1.

ABD中,有AB2AD2BD22AD·BDcos 60°

23+12122×23+1×1×2123

所以AB26,故船速为66 km/min.

法二:(特殊思路)

由题意,得BDC30°60°90°

又因为BCD45°,所以BCCD=.

因为ACBADB60°,所以ABCD四点共圆,且以BC为直径,所以ABBC·sin 60°26

故船速为66 km/min.

[答案]66

[命题分析]

本题考查解三角形中的实际应用问题,考查学生的阅读理解能力、分析问题能力、转化划归能力、合理利用正弦定定理余弦定理及解决实际问题的能力。

[方法规律]

应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步

(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等;

(2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;

(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解;

(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.

[变式预测]

1.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D,测得BDC45°,则塔AB的高是________ m.

解析:在BCD中,CD10BDC45°BCD15°90°105°DBC30°sin 45°BCsin 30°CDBCsin 30°CDsin 45°10.RtABC中,tan 60°BCABABBCtan 60°10.

答案:10

2.如图,在某灾区的搜救现场,一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象,然后向右转105°,行进10 m到达C处发现另一生命迹象,这时它向右转135°回到出发点,那么x________.

解析:由题中图知,ABxABC180°105°75°BCA180°135°45°.

BC10BAC180°75°45°60°

sin 45°xsin 60°10xsin 60°10sin 45°36.

答案:36

[6](2012·郑州模拟)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为ABCABD,经测量ADBD7米,BC5米,AC8米,CD.

(1)AB的长度;

(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由),最低造价为多少?(1.4141.732)

[思路分析](1)ABDABC中利用余弦定理求解;

(2)造价最低,即面积最小.

解析(1)ABC中,由余弦定理得

cos C2AC·BCAC2+BC2-AB22×8×582+52-AB2

ABD中,由余弦定理得

cos D2AD·BDAD2+BD2-AB22×7×772+72-AB2

CDcos Ccos D

解得AB7,所以AB的长度为7米.

(2)小李的设计使建造费用最低.

理由如下:

易知SABD21AD·BDsin D

SABC21AC·BCsin C

因为AD·BD>AC·BC,且CD

所以SABD>SABC.

故选择ABC的形状建造环境标志费用较低.

因为ADBDAB7

所以ABD是等边三角形,D60°.

SABC21AC·BCsin C10

所以所求的最低造价为

5 000×10=50 00086 600 元.

[命题分析]

本题考查解三角形中的测量问题、实际问题中的最优化问题,综合考查分析转化能力、灵活运用知识解决问题的能力、运算能力。

[方法规律]

(1)解有关正弦定理、余弦定理的实际应用题时,首先要理清问题的情景,且要熟悉相关术语,如方位角、仰角、俯角、坡度等概念.

(2)解三角形应用题的关键是正确画出示意图,把实际问题化归为解三角形的问题,然后根据已知与所求灵活选用公式.

[变式预测]

1.如图所示,在某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?

(2)为保证小艇在30分钟内(30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;

(3)是否存在v,使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:(1)设相遇时小艇航行距离为S海里,则

S

== 2+3001

故当t31时,Smin10v30,即小艇以每小时30海里的速度航行,相遇时距离最小.

(2)若轮船与小艇在B处相遇,由题意可得:

(vt)2202(30t)22·20·(30t)·cos(90°30°)

化简得v2t2400t600900

400432675

由于0<t21,即t12,所以当t12时,v取得最小值10,即小艇航行速度的最小值为10海里/小时.

(3)(2)v2t2400t600900,令t1μ(μ>0)

于是有400μ2600μ900v20,小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根,

900-v2>0,(600)2-1 600(900-v2)>0,

解得15<v<30,所以v的取值范围为(1530)

【通法归纳领悟】

1.掌握三个思路:

求解恒等变换的基本思路

一角二名三结构,即用化归转化思想去异求同的过程,具体分析如下:

(1)首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变换形式,角的变换是三角函数变换的核心;

(2)其次看函数名称之间的关系,通常切化弦

(3)再次观察代数式的结构特点.

2.熟练六个策略:

三角函数恒等变换的基本策略

(1)常值代换:特别是“1”的代换,1sin2 θcos2θtan 45°等;

(2)项的分拆与角的配凑:如sin2α2cos2α(sin2αcos2α)cos2αα(αβ)ββ2α+β2α-βα可视为2α的倍角;4π±α可视为±2απ的半角等;

(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;

(4)弦、切互化:一般是切化弦;

(5)公式的变形应用:如sin αcos αtan αsin2α21-cos 2αcos2α21+cos 2αtan αtan βtan(αβ)·(1tan αtan β)1±sin α2α2等;

(6)(辅助角公式)角的合成及三角函数名的统一:

asin αbcos α=sin(αφ)ab.

3.掌握两种方法:

判断三角形形状的两种方法

4.掌握两个应用:

正余弦定理的应用:判断三角形的形状主要有以下两种思路:

(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的对应关系,从而判断三角形的形状.

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此种方法应注意应用三角形内角和ABCπ这一结论.

正弦定理揭示了三角形三边及其对角正弦的比例关系,余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系.在使用正弦定理求三角形内角时,要注意解的可能情况,判断解情况的基本依据是三角形中大边对大角.


怎么样!雯小编扔出的独家资料够猛的!再次给程凤霞老师撒花!鼓掌!今天先讲到这里,明天继续,下课!

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