南京尺子批发交流站

知识点 | 七下数学,新学期掌握这些“相交线与平行线”的知识点,月考直接110+

学习宝2018-12-05 15:07:38


开学已经有几天了,新的第一章知识掌握的怎么样了呢?这一单元主要是概念和性质定理一定要理解清楚,可以在这篇文章梳理一下,一定能帮到你!


一、相交线

1.邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表:


注意点:

⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角;

⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角

⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°, 则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。


2.垂线

⑴定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直, 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。

符号语言记作:


如图所示:AB⊥CD,垂足为 O

⑵垂线性质 1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)

⑶垂线性质 2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。


3.垂线的画法:

⑴过直线上一点画已知直线的垂线;

⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 


注意:①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。


画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的 另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。


4.点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。应该结合图形进行记忆。


如图,PO⊥AB,同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。PO 是垂线段。PO 是点 P 到直线 AB所有线段中最短的一条。 现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。


5.如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念。分析它们的联系与区别。


⑴垂线与垂线段

区别:垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量 长度。

联系:具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)


⑵两点间距离与点到直线的距离

区别:两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离 是点与直线之间。

联系:都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与 垂足)间距离。


⑶线段与距离

距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。


二、平行线

1.平行线的概念:

在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线 a 与直线b 互相平行,记作 a ∥b 。


2.两条直线的位置关系

在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。


因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线) 判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:


①有且只有一个公共点,两直线相交;

②无公共点,则两直线平行;

③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)


3.平行公理

平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。


4.平行公理的推论

 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。

如左图所示,∵b ∥ a , c ∥ a

                       ∴b ∥ c

注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才能得出结论,这两条直线都平行。


5.三线八角

两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。


如图,直线 a, b 被直线 l 所截。

①∠1 与∠5 在截线l 的同侧,同在被截直线 a, b 的上方, 叫做同位角(位置相同)


②∠5 与∠3 在截线l 的两旁(交错),在被截直线 a, b 之间(内),叫做内错角(位置在内且交错)


③∠5 与∠4 在截线l 的同侧,在被截直线 a, b 之间(内),叫做同旁内角。


④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U” 型。


6.如何判别三线八角

判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。


例如:

如图,判断下列各对角的位置关系:⑴∠1 与∠2;⑵∠1 与∠7;⑶∠1 与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5 与∠8。 


我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。 如图所示,不难看出∠1 与∠2 是同旁内角;∠1 与∠7 是同位角;∠1 与∠BAD 是同旁内角;∠2 与∠6 是内错角;∠5 与∠8 对顶角。


7.两直线平行的判定方法

方法一    两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行

简称:同位角相等,两直线平行


方法二    两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行

简称:内错角相等,两直线平行


方法三    两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行

简称:同旁内角互补,两直线平行


几何符号语言:

∵  ∠3=∠2

∴  AB∥CD(同位角相等,两直线平行)

∵  ∠1=∠2

∴  AB∥CD(内错角相等,两直线平行)

∵  ∠4+∠2=180°

∴  AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)


请注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。平行线的判定是写角相等,然后写平行。


注意:⑴几何中,图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系,常由“位置关系”决定其“数量关系”,反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”, 判定两直线“平行”这种“位置关系”。


⑵根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有两种:①如果两条直线 没有交点(不相交),那么两直线平行。②如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条 直线平行。


典型例题:判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正:

⑴不相交的两条直线必定平行线。

⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。

⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行


解答:⑴错误,平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要 条件,不能遗漏。

⑵正确

⑶不正确,正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在 已知直线上,是作不出这条直线的平行线的。 


典型例题:如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么?


解答:⑴由∠2=∠B 可判定 AB∥DE,根据是同位角相等,两直线平行;

⑵由∠1=∠D 可判定 AC∥DF,根据是内错角相等,两直线平行;

⑶由∠3+∠F=180°可判定 AC∥DF,根据同旁内角互补,两直线平行。


三、平行线的性质

1.平行线的性质:

性质 1:两直线平行,同位角相等; 

性质 2:两直线平行,内错角相等; 

性质 3:两直线平行,同旁内角互补。

几何符号语言:

∵AB∥CD

∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)

∵AB∥CD

∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等)

∵AB∥CD

∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)


2.两条平行线的距离

如图,直线 AB∥CD,EF⊥AB 于 E,EF⊥CD 于 F,则称线段 EF 的长度为两平行线 AB与 CD 间的距离。

注意:直线 AB∥CD,在直线 AB 上任取一点 G,过点 G 作 CD 的垂线段 GH,则垂线段


GH 的长度也就是直线 AB 与 CD 间的距离。


3.命题:

⑴命题的概念: 判断一件事情的语句,叫做命题。


⑵命题的组成:每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。 命题常写成“如果……,那么……”的形式。具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。


有些命题,没有写成“如果……,那么……”的形式,题设和结论不明显。对于这样的命题,要经过分析才能找出题设和结论,也可以将它们改写成“如果……,那么……”的形式。 


注意:命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;命 题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。


4.平行线的性质与判定

①平行线的性质与判定是互逆的关系

两直线平行=同位角相等;

两直线平行=内错角相等;

两直线平行=同旁内角互补。


其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。


典型例题:已知∠1=∠B,求证:∠2=∠C

证明:∵∠1=∠B(已知)

∴DE∥BC(同位角相等, 两直线平行) D

∴∠2=∠C(两直线平行 同位角相等)


注意,在了 DE∥BC,不需要再写一次了,得到了 DE∥BC,这可以把它当作条件来用了。


典型例题:如图,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65° 求∠2、∠3 的度数。


解答:∵DE∥BC(已知)

∴∠2=∠1=65°(两直线平行,内错角相等)

∵AB∥DF(已知)

∴AB∥DF(已知)

∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)

∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115°


四、平移

1.平移变换

①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小 完全相同。

②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点

③连接各组对应点的线段平行且相等


2.平移的特征:

①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角 相等,图形的形状与大小都没有发生变化。

②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。


典型例题:如图,△ABC 经过平移之后成为△DEF,那么:

⑴点 A 的对应点是点_________;⑵点 B 的对应点是点______。

⑶点_____的对应点是点 F;⑷线段 AB 的对应线段是线段_______;

⑸线段 BC 的对应线段是线段_______;⑹∠A 的对应角是______。

⑺____的对应角是∠F。 


解答:

⑴D;⑵E;⑶C;⑷DE;⑸EF;⑹∠D;⑺∠ACB。 思维方式:利用平移特征:平移前后对应线段相等,对应点的连线段平行或在同一直线上解答。





- END -


# 学习宝1对1 #

邀请全国中小学生免费听课

小学、初中、高中均可报名

现在限时首次课免费试听

仅限前300

1对1真人在线

定制化学习


1.学习无需来回赶 随时随地方便学

2.一线名师一对一 不必苦苦去追逐

3.学习方案个性化 补习效果可量化

4.价格低过线下班 质优价低家长赞


3大学习方案逆袭

小学生潜力提分方案

【level1】基础讲解+经典题型+作业解答

【level2】薄弱检测+真题演练+易错归纳

【level3】易错整理+学科框架+应试技巧

【level4】真题训练+拔高练习+奥数点拨

初中生精英提分方案

【level1】9大学科基础盘点+构建知识框架+习题准确率训练

【level2】强化薄弱点知识+听/背/读/练多样化训练

【level3】8大经典题+6种解题技巧+易错专项等多样化专题

【level4】压轴题训练+解析重难题+奥数课程点播

高中生超能提分方案

【level1】同步课程+知识框架+习题训练

【level2】强化主科+文理调整+核心知识

【level3】一轮扫荡+二轮专题+速度训练

【level4】知识盘点+易错梳理+应试技巧+心理辅导


报名方式一:

长按扫描二维码即可报名试听